જો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવતા બિંદુઓ સમતલીય હોય અને $(\sin A)\vec{a} + (2\sin 2B)\vec{b} + (3\sin 3C)\vec{c} - 4\vec{d} = \vec{0}$ હોય,તો $\frac{21}{8}(\sin^2 A + \sin^2 2B + \sin^2 3C)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો.

જો $\vec{a}$,$\vec{b}$ અને $\vec{a}-\vec{b}$ એકમ સદિશો હોય અને બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ હોય,તો $\theta = $ . . . . . . .

જો $12 \hat{i}-12 \hat{j}-18 \hat{k}$,$-3 \hat{i}-6 \hat{j}-9 \hat{k}$ અને $3 \hat{i}+3 \hat{j}-24 \hat{k}$ એ $\triangle ABC$ ના શિરોબિંદુઓ $A, B$ અને $C$ ના સ્થાન સદિશો હોય,તો $\triangle ABC$ ના અંતઃકેન્દ્રનો સ્થાન સદિશ શોધો.

સાબિત કરો કે $(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}+\vec{b})=|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}$ થાય,જો અને માત્ર જો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ પરસ્પર લંબ હોય,જ્યાં $\vec{a} \neq \vec{0}, \vec{b} \neq \vec{0}$ આપેલ છે.

$\alpha$ નું ન્યૂનતમ ધન પૂર્ણાંક મૂલ્ય શોધો,જેના માટે સદિશો $\alpha \hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k}$ અને $\alpha \hat{i}+2 \alpha \hat{j}-2 \hat{k}$ વચ્ચેનો ખૂણો લઘુકોણ હોય.

ધારો કે $a = \sin^2 x \hat{i} + \cos^2 x \hat{j} + \hat{k}$, જ્યાં $x \in R$. જો સદિશોની જોડી $(a, \hat{i})$, $(a, \hat{j})$, અને $(a, \hat{k})$ એ $3$ અલગ-અલગ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની પાસપાસેની બાજુઓ હોય અને $A$ એ આ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના ક્ષેત્રફળના વર્ગોનો સરવાળો હોય, તો $A$ કયા અંતરાલમાં આવે છે?